Il criterio di Kelly risponde a una domanda molto specifica: quale percentuale del tuo bankroll dovresti puntare su ogni scommessa con questo vantaggio per massimizzare la crescita nel lungo periodo? È una buona risposta a questa domanda. È molto meno utile come risposta alla domanda "quanto dovrei puntare davvero?" ed è proprio la differenza tra queste due domande il motivo per cui pochissime persone che utilizzano il metodo Kelly puntano il full Kelly.
La formula
f* = (b × p − q) ÷ b
dove b è la quota decimale meno uno, ovvero il profitto per ogni dollaro puntato, p è la probabilità reale di vincita e q è 1 − p.
Prendiamo una moneta che ritieni essere sbilanciata. La quota è pari, con una quota decimale di 2,00 e quindi b = 1, e stimi una probabilità di vincita del 55% anziché del 50%.
f* = (1 × 0,55 − 0,45) ÷ 1 = 0,10 — punta il 10% del bankroll
Con un bankroll di 1.000 $, significa puntare 100 $ per ogni scommessa, ricalcolando la cifra dopo ogni risultato perché anche il bankroll cambia continuamente. Il mezzo Kelly sarebbe 50 $ e il quarto Kelly sarebbe 25 $.
Crescita ottimale non significa necessariamente sostenibile
"Massimizza il tasso di crescita nel lungo periodo" è una proprietà matematica specifica, non una promessa su come sarà una particolare serie di risultati.
Il tasso di crescita con una frazione di puntata f, per una scommessa ripetuta a quota pari, è:
g(f) = p × ln(1 + f) + q × ln(1 − f)
Con il full Kelly, dove f = 0,10, e con il nostro vantaggio del 55%/45%, il risultato è circa lo 0,501% di crescita attesa per scommessa.
Dimezzando la puntata al 5%, la crescita scende a circa lo 0,375% per scommessa. Si tratta del 75% del tasso di crescita del full Kelly, con metà della dimensione della puntata e oscillazioni del bankroll che sono all’incirca dimezzate.
Con il quarter Kelly, al 2,5%, la crescita è di circa lo 0,219% per scommessa. È il 44% del tasso del full Kelly, con un quarto della puntata e una serie molto più breve di brutte giornate.
Questo compromesso, ovvero rinunciare a una parte del tasso di crescita in cambio di oscillazioni molto più contenute, è il motivo principale per cui il mezzo Kelly è la scelta predefinita per molti scommettitori esperti. Il full Kelly è ottimale nel senso che nessun'altra frazione fissa fa crescere il bankroll più velocemente su un numero infinito di tentativi. È anche la frazione che produce i drawdown più grandi e frequenti tra le opzioni che mantengono una crescita positiva, perché la formula considera esclusivamente il tasso di crescita finale e non quanto sia difficile il percorso per arrivarci.
Perché nessuno usa davvero il full Kelly
- La formula presuppone che tu conosca p con precisione. Non è così. Ogni stima reale della probabilità contiene un margine di errore e la puntata Kelly cresce direttamente con il tuo vantaggio: se sovrastimi p anche di poco, finirai per puntare una cifra proporzionalmente eccessiva. La formula non può distinguere un vero vantaggio del 5% da una stima sbagliata; si limita a comportarsi come se il numero inserito fosse esatto.
- Puntare troppo viene penalizzato più del puntare troppo poco. Se punti oltre circa il doppio della vera frazione Kelly su una scommessa, il tasso di crescita diventa negativo: puoi aver individuato correttamente il lato con un vantaggio e continuare comunque a puntare in modo così aggressivo da avere matematicamente una probabilità di perdere tutto. Puntare meno riduce soltanto il tasso di crescita, non mette mai a rischio l'intero bankroll. Questa asimmetria è il motivo per cui il Kelly frazionario rappresenta una protezione contro una valutazione errata del proprio vantaggio, non semplicemente un modo per stare più tranquilli di fronte alla varianza.
- I grandi drawdown non sono un errore del metodo. Anche uno scommettitore con un vantaggio reale e stimato correttamente, utilizzando il full Kelly, attraverserà periodi che possono sembrare il segnale che il modello non funziona, semplicemente a causa della varianza. La crescita ottimale descrive la destinazione dopo un numero infinito di tentativi, non la forma del percorso per arrivarci. È perfettamente possibile trovarsi sul percorso di crescita ottimale e vedere comunque scomparire un terzo o più del bankroll prima che inizi a recuperare.
- Le scommesse raramente sono così semplici come vorrebbe la formula. Kelly presuppone un vantaggio noto, fisso e ripetibile su eventi indipendenti. I vantaggi reali cambiano, vengono eliminati man mano che i mercati diventano più efficienti e sono spesso correlati tra loro più di quanto la formula tenga conto. Puntare il "full Kelly" su diversi mercati correlati significa sottovalutare il rischio complessivo, perché li tratta come indipendenti quando non lo sono.
Quando Kelly dice correttamente: non puntare
La formula è altrettanto utile quando produce un numero piccolo o negativo.
Prendiamo una quota decimale di 3,00, dove b = 2, e stimiamo la probabilità reale al 30%. È inferiore alla probabilità implicita del mercato, pari al 33,3%, il che significa che ritieni che la scommessa sia in realtà peggiore di quanto suggerisca la quota:
f* = (2 × 0,30 − 0,70) ÷ 2 = −0,05
È negativo. Il metodo Kelly porta questo valore a zero. Non c'è alcun vantaggio, quindi non c'è alcuna puntata.
Confrontalo con la stessa quota di 3,00 valutata con una probabilità reale del 40%: f* = (2 × 0,40 − 0,60) ÷ 2 = 0,10
In questo caso ottieni una puntata reale del 10%.
Le due stime di probabilità differiscono solo di dieci punti percentuali, eppure una produce "non puntare" mentre l'altra produce una puntata a dimensione piena. Questa sensibilità non è un difetto della formula. È la formula che si rifiuta di creare un vantaggio a partire da una stima di probabilità che non supera realmente la quota di mercato. È esattamente il tipo di disciplina che una puntata fissa non impone.
Il bankroll cambia continuamente, ed è proprio questo il punto
Kelly calcola una frazione del bankroll attuale, ricalcolata dopo ogni risultato. Non è una frazione del bankroll con cui hai iniziato. Questo significa che dopo una perdita il bankroll diminuisce e, di conseguenza, diminuisce anche la puntata successiva. Dopo una vincita aumentano sia il bankroll sia la puntata successiva. Nel modello Kelly puro, con probabilità stimate correttamente, questo rende il processo di gestione delle puntate autoregolato, senza bisogno di una regola separata di stop-loss. La puntata fissa non offre lo stesso meccanismo. Una cifra fissa diventa una percentuale sempre più grande di un bankroll che si riduce dopo ogni perdita, esattamente il contrario di ciò che farebbe un approccio consapevole della varianza.
Questa proprietà autoregolante spiega anche perché il full Kelly non arriva mai realmente a zero durante una serie finita di perdite. Ogni puntata è una frazione di ciò che rimane, quindi c'è sempre qualcosa da puntare, per quanto piccola possa diventare la cifra. Questo non rende i grandi drawdown più facili da sopportare, ma è il motivo matematico per cui il metodo Kelly non può azzerare completamente il bankroll attraverso una sequenza finita di perdite, quando le puntate vengono sempre calcolate come una frazione del bankroll residuo.
Cosa significa in pratica
Il full Kelly è la risposta matematicamente corretta a una domanda più specifica di quella che la maggior parte degli scommettitori si pone davvero. Il mezzo Kelly rinuncia a una parte della crescita in cambio di una forte riduzione della gravità dei periodi negativi. È per questo che viene spesso utilizzato come scelta pratica predefinita, mentre il quarter Kelly può avere senso quando c'è maggiore incertezza nelle stime di probabilità.
Inserisci il tuo vantaggio e il tuo bankroll nel calcolatore del criterio di Kelly per vedere affiancate le puntate full, half e quarter Kelly. La differenza tra queste tre può essere spesso il numero più utile prodotto dal calcolatore.